In 1742 schreef de Pruisische wiskundige Christian Goldbach (1690–1764) een brief gericht aan de befaamde Zwitserse wiskundige Leonard Euler (zie figuur 1). Hierin stelde hij dat ieder geheel getal groter dan 2 bestaat uit de som van drie priemgetallen. Een priemgetal is een getal dat uitsluitend deelbaar is door 1 en zichzelf, bijvoorbeeld 7 of 23. Later dat jaar reageerde Euler, waaruit voortvloeide dat elk even getal groter dan 2 bestaat uit de som van twee priemgetallen. Laten we een even getal (> 2) \(E\) noemen, het eerste priemgetal \(p\) en het tweede priemgetal \(q\). Dan moet, in mathematische notatie, gelden dat \(E=p+q\). Deze stelling staat bekend als het Vermoeden van Goldbach (in het Engels Goldbach's conjecture).¹

Om deze bewering te staven kunnen we haar handmatig controleren. Voor kleine getallen is betrekkelijk eenvoudig een oplossing te vinden:\[4=2+2\]\[6=3+3\]\[8=5+3\]\[\vdots\]We zien dat het Vermoeden van Goldbach voor de eerste drie even getallen klopt. Geldt dat ook voor alle resterende even getallen? Het wordt al gauw moeilijker om voor grotere getallen een oplossing te vinden, doch met wat speurwerk nog steeds te behappen:\[\vdots\]\[100=53+47\]\[102=59+43\]\[104=61+43\]\[\vdots\]Je zult jouw hersens moeten kraken:\[\vdots\]\[1000=509+491\]\[1002=503+499\]\[1004=541+463\]\[\vdots\]Probeer datzelfde nu eens voor het getal 9.876.543.210... Als wetenschappers tegen een probleem aanlopen dat herhaalde stappen vergt om op te lossen, kan de hulp van een computer ingeschakeld worden.

Om te bepalen of een even getal de som is van het ene priemgetal plus het andere (of datzelfde!) priemgetal zal men allereerst moeten weten wat de priemgetallen zijn. In een Python-programma, dat je hier kunt downloaden, wordt een lijst met priemgetallen gegenereerd. Het getal dat dient als maximale waarde van waaruit alle priemgetallen geselecteerd worden die de lijst zal bevatten, wordt vóór aanvang van het programma bepaald door de programmeur. De even getallen die getest moeten worden op een oplossing voor het Vermoeden van Goldbach hebben natuurlijk een bereik dat net zover ligt als dit specifieke getal. Het kan immers niet zo zijn dat een te testen even getal bestaat uit een optelling van twee priemgetallen waarvan één van de twee componenten groter is dan het even getal zelf.

Zodra de lijst met priemgetallen klaar is, wordt naar het volgende deel van het programma gestroomd: het lussen door de even getallen die getest moeten worden op een oplossing. Voor elk van deze getallen wordt gelust door de lijst met priemgetallen die in het begin is gemaakt. Op haar beurt wordt voor elk priemgetal uit de lijst opnieuw gelust door diezelfde lijst met priemgetallen. Dit gebeurt om te checken of priemgetal één en priemgetal twee in combinatie (opgeteld) overeenkomen met het even getal. Als dat zo is, dan heeft ons programma voor dát getal dus een oplossing gevonden.

Deze methode, waarbij de ene lus binnen de andere lus is opgenomen, heet “nesten”. Dit heeft tot gevolg dat met iedere extra geneste lus de verwerkingstijd in theorie exponentieel toeneemt, aangezien voor ieder afzonderlijk item uit de lijst de volledige lijst nogmaals doorlopen wordt. Stel dat de lijst met priemgetallen vijf items bevat: 2, 3, 5, 7 en 11. Dan voert het systeem \(5^2=5\times5=25\) vergelijkingen uit pér te beoordelen getal! Dit noemt men ook wel de “brute kracht”-benadering.² Het vereist veel rekenkracht van de computer en is daarom niet geschikt om reusachtige getallen te testen. Vergelijk het met een schaakcomputer die de beste zet zoekt en daarvoor iedere mogelijke zet één voor één nagaat. Een effectieve methode, maar niet erg efficiënt. Zie kader 1 voor de pseudocode van dit algoritme. Analytische methoden voor het bewijzen van het Vermoeden van Goldbach, die een beroep doen op wiskundevaardigheden, vallen buiten het bestek van dit artikel.

De getallen 4, 6 en 8 hebben slechts één mogelijke combinatie van een optelling van twee priemgetallen om tot dat betreffende getal te komen, respectievelijk twee plus twee, drie plus drie en vijf plus drie. Zo'n combinatie wordt een Goldbach-partitie genoemd. De getallen 4, 6 en 8 hebben dus één Goldbach-partitie. Daarentegen heeft het getal 10 twee partities, namelijk vijf plus vijf en zeven plus drie (de omgekeerde optelling – drie plus zeven – wordt niet meegerekend):\[10=\underbrace{5+5}_\text{1}=\underbrace{7+3}_\text{2}\]Een willekeurig ander getal, 42, heeft vier partities:\[42=\underbrace{23+19}_\text{1}=\underbrace{29+13}_\text{2}=\underbrace{31+11}_\text{3}=\underbrace{37+5}_\text{4}\]Het aantal partities voor getal \(E\) wordt uitgedrukt in de Goldbach-functie:³ \(g(E)=r\). Zoals we hierboven hebben gezien blijkt dat \(g(10)=2\) en \(g(42)=4\).

Er lijkt een patroon in de reeks te zitten: hoe groter \(E\), des te meer partities het heeft. Dit is te verklaren doordat een groot getal meer priemgetallen “tot zijn beschikking heeft om uit te kiezen” dan een klein getal en dus meer combinaties kan “proberen”. In deze constatering zit een kern van waarheid, maar die gaat niet altijd op. Het getal 98 heeft bijvoorbeeld drie partities, één minder dan 42:\[98=\underbrace{61+37}_\text{1}=\underbrace{67+31}_\text{2}=\underbrace{79+19}_\text{3}\]Welke uitspraak kan dan wél gedaan worden over de verdeling van Goldbach-partities?

Het programma bevat naast de blokken code voor het genereren van priemgetallen en de controle of het getal een oplossing heeft, ook een teller om het aantal Goldbach-partities voor ieder even getal te berekenen. Uiteindelijk geeft het programma deze weer in een grafiek in de vorm van een scatterplot – een ander woord voor puntenwolk. Op de x-as wordt het even getal (\(E\)) geplot. Op de y-as wordt het aantal partities (\(r\)) geplot. Figuur 2 is een voorbeeld van zo'n grafiek.

Zodra we uitzoomen krijgt de grafiek een karakteristieke aanblik: die van een komeet met een uitgerekte staart (zie figuur 3).⁴ Ondanks het feit dat uit de vorm van de grafiek alleen geen conclusies kunnen worden getrokken, is zij esthetisch aantrekkelijk en geeft daarmee uitdrukking aan de schoonheid van wiskunde.

Al bijna drie eeuwen lang doen wiskundigen verwoede pogingen om het Vermoeden van Goldbach te bewijzen. Wat het probleem zo aanlokkelijk maakt is “de combinatie van uiterlijke eenvoud en notoire moeilijkheid”⁵ (p. 65). Een enkeling heeft geclaimd het raadsel te hebben opgelost, maar die oplossing werd niet wijdverbreid geaccepteerd door de wetenschappelijke gemeenschap. In de loop der tijd is de limiet van het getal tot waaraan de stelling geldig is bevonden steeds verder opgeschoven.⁶ In 1885 lag deze grens op 10.000. De afgelopen decennia heeft de Portugese hoogleraar Tomás Oliveira e Silva, verbonden aan de Universiteit van Aveiro, zichzelf regelmatig overtroffen. In 2003 toonde hij de geldigheid van de stelling aan tot het getal \(2\times10^{16}\), terwijl hij dat in 2014, in samenwerking met zijn collega's, voor \(4\times10^{18}\) deed.⁷

Tot op heden is er dus nog geen onomstotelijk bewijs geleverd voor het Vermoeden van Goldbach. Dat maakt het een van de beruchtste problemen uit de getaltheorie – een tak van de wiskunde. Sterker nog, samen met de Riemannhypothese is het een van de grootste onopgeloste wiskundige problemen in het algemeen. De uitgeverij Faber and Faber loofde, naar aanleiding van een boekpublicatie, tussen 20 maart 2000 en 20 maart 2002 een bedrag van 1 miljoen dollar uit aan degene die de stelling zou weten te bewijzen.⁸ Dit bleek tevergeefs. Onderzoekers vermoeden echter dat de stelling waar is, omdat de kans dat een even getal een optelling van twee priemgetallen is toeneemt naarmate het getal groter wordt. Met andere woorden, voor een groot getal is het waarschijnlijker dat er ten minste één Goldbach-partitie bestaat dan voor een klein getal.

Oom Petros en het vermoeden van Goldbach – Apostolos Doxiadis

1. Wikipedia, The Free Encyclopedia. (2025, January 31). Goldbach's conjecture. https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture

2. Tanton, J. (2005). Encyclopedia of Mathematics. New York: Facts On File.

3. Wikipedia, The Free Encyclopedia. (2022, December 24). Goldbach's comet. https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach's_comet

4. Weisstein, Eric W. "Goldbach Partition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/GoldbachPartition.html

5. Doxiadis, A. (2010). Oom Petros en het vermoeden van Goldbach. (Oorspronkelijke titel: Uncle Petros and Goldbach's Conjecture.) Uitgeverij De Vliegende Hollander.

6. Weisstein, Eric W. "Goldbach Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html

7. Oliveira e Silva, T., Herzog, S., & Pardi, S. (2014). Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4x10¹⁸. Mathematics of Computation, 83(288), 2033-2060.

8. Internet Archive. (2002, June 5). Faber and Faber today issues a $1,000,000 challenge to prove Goldbach's Conjecture. http://web.archive.org/web/20020605055727/http://www.faber.co.uk/faber/million_dollar.asp

↵ Terug naar de homepage